Modelo de Experimento de Superfície de Resposta (SR): mais uma ferramenta estatística

O SR ainda é desconhecido por boa parte do pessoal que trabalha com estatítica, seja pelo seu conceito ou pela sua operacionalidade. No texto abaixo, Marcelo Rivas Fernandes (marcelorivas@uol.com.br) afirma que a finalidade dessa metodologia é produzir uma equação matemática otimizada e robusta, validando para a próxima fase de Controle os poucos fatores (x) vitais e altamente influenciadores no resultado do processo (y).

O Modelo de Experimento de Superfície de Resposta (SR) é uma ferramenta estatística bastante poderosa, porém, pouco utilizada na fase de Implementação de Melhorias em um projeto Seis Sigma. A sua finalidade é produzir uma equação matemática otimizada e robusta, validando para a próxima fase de Controle os poucos fatores (x) vitais e altamente influenciadores no resultado do processo (y).

Na edição nº 3 desta revista descrevemos sobre a relação Y=f(x) como uma linguagem mundialmente conhecida que expressa a base da utilização da metodologia Seis Sigma, onde o “Y” representa a saída do processo, um produto ou serviço, a variável dependente de “x” que por sua vez, representa a entrada do processo, as variáveis independentes, ou seja, todos os fatores que irão compor e afetar o Y . Este conceito deriva todos os modelamentos matemáticos encontrados na metodologia Seis Sigma através do uso das ferramentas estatísticas que irão servir para determinar as variáveis do processo, porém eles divergem em propriedade e importância explanadas a seguir. Vamos supor que iremos analisar a influência da distância (x1) e o volume descarregado (x2) nos tempos de abastecimento (Y)* de um centro distribuidor . A tabela 1 contém os dados de dez abastecimentos.

 

Tabela 1

(x1)Km  (x2)Toneladas (Y)Minutos
92 40 230
78 37 180
67 31 120
72 34 148
84 38 215
71 33 135
81 36 211
74 34 155
77 36 170
68 32 122

 

A definição operacional para o tempo de abastecimento é considerada a partir da saída do caminhão em direção ao cliente até o descarregamento total da carga. O primeiro modelo é o básico, amplamente utilizado em ferramentas estatísticas de Regressão e que por sua simplicidade na sua execução determina a força da corelação existente entre os eixos (x) e  (y). A sua representação está descrita nos gráficos 1 e 2.

 

Y=b0 + X1 + X2…+ Xn

Onde o “Y” representa a saída do processo, b0 representa a constante e X1, X2, Xn representa os fatores que estão sendo analisados. Observem que este modelo analisa os efeitos principais dos fatores em relação ao Y, individualmente.

 

Gráficos 1 e 2

O modelo matemático preditício seria o seguinte:

Regression Analysis: (Y)Minutos versus (x1)Km; (x2)Toneladas

 The regression equation is

(Y)Minutos = – 222 + 4,51 (x1)Km + 1,32 (x2)Tonelada

 Substituindo a equação na primeira linha da tabela teremos: Para cada 4,51 km percorridos com 1,32 toneladas descarregadas iremos gastar 245,72 minutos.

O segundo modelo é utilizado em Delineamento de Experimentos para tratamento de combinações entre os fatores. A sua representação acrescenta os termos interagindo:

Y=b0 + X1 + X2…+ X1*X2

Onde o “Y” representa a saída do processo, b0 representa a constante, X1, X2…, representa os fatores que estão sendo analisados e X1*X2… representa os fatores interagidos (Gráfico 3). Este modelo possui um grau de robustez maior do que o anterior pois ele acrescenta os termos de interação existentes entre os fatores que irão influenciar no resultado do processo.

Gráfico 3

 

Observem que o tempo gasto para efetuar um abastecimento de 40 toneladas, obviamente é maior que o tempo gasto para efetuar um abastecimento de 31 toneladas em uma distância comum de 92 quilômetros. Porém, o tempo gasto para efetuar um abastecimento de 40 toneladas NÃO é maior que o tempo gasto para efetuar um abastecimento de 31 toneladas em uma distância comum de 67 quilômetros. Daí a importância do modelo interagido.

O modelo matemático preditício seria o seguinte:

Estimated Coefficients for Minutos using data in uncoded units

 Term          Coef

Constant 130,622

Km              0,355

Ton            -8,560

Km*Ton      0,111  çTermo interagido (km * ton)

 Substituindo a equação na primeira linha da tabela teremos:

Y=130,62  + 32,66 – 342,40 + 408,48 => Y= 229,36 minutos

O terceiro modelo é utilizado em Superfície de Resposta. Ele analisa, a possibilidade dos fatores se auto-influenciarem no resultado do processo, além das interações entre eles . A sua representação acrescenta os termos quadráticos. (Gráfico 4)

Y=b0 + X1 + X2…+ X1*X2 +X12 + X22

Onde o “Y” representa a saída do processo, b0 representa a constante, X1, X2…, representa os fatores que estão sendo analisados, X1*X2… representa os fatores interagidos e X12 , X2representa os fatores auto-influenciadores no resultado do processo

Este modelo possui um grau de robustez maior do que o anterior pois ele acrescenta os termos quadráticos, considerando através de uma forma tri dimensional todas as possibilidades de variação existentes nos fatores que irão influenciar no resultado do processo.

 Gráfico 4

 

O modelo matemático preditício seria o seguinte:

Response Surface Regression: Minutos versus Km; Ton

The analysis was done using uncoded units.

Estimated Regression Coefficients for Minutos

Term         Coef 

Constant  1565,66 

Km              -38,29  

Ton               -2,44   

Km*Km          0,27    çTermo quadrático (km * km)

Substituindo a equação na primeira linha da tabela teremos:

Y=1.565,66 – 3.522,68 – 97,6 + 2.285,28    =>  Y= 230,66  minutos

Agora vamos comparar os resultados dos três modelos em relação ao primeiro abastecimento:

(x1)Km (x2)Toneladas (Y)Minutos
92 40 230

 

Regressão………245,72 minutos

  DOE (+ Interação)……229,36 minutos

SR (+ Quadrático)……..230,66  minutos

Podemos verificar que os resultados dos modelos matemáticos gerados pelo DOE e SR representam a maior proximidade em relação a amostra do primeiro abastecimento, tornando-os mais robustos em relação ao modelo de regressão. Para decidir qual o modelo matemático optar entre o DOE e SR devemos considerar neste exemplo que ambos produziram  resultados quase parecidos, porém, o SR foi o que mais aproximou-se da amostra mesmo tendo que acrescentar o termo quadrático, o que nos leva a conclusão  que houve uma “varredura” da superfície. Portanto, na hora de decidir qual o modelo matemático que poderá ser utilizado na fase de implementação de melhorias, considere que com poucas execuções você poderá desenvolver análises de um maior número de combinações de fatores possíveis para tornar os seus resultados mais robustos.

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2 Respostas

  1. Estou com uns dados sobre monitoramento da fertirrigação com cápsulas porosas, preciso de um programa que seja fácil de gerar gráficos de superfície de resposta, agradecerei indicar para este mesmo e-mail.
    Atenciosamente Manuel

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